机械振动#

简谐振动的动力学特征#

弹簧振子模型#

将轻弹簧一段固定另一端与质量为 $m$ 的物体（可视为质点）相连，若该系统在振动过程中弹簧的形变较小及形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律那么这样的弹簧物体系统称为弹簧振子。

以水平弹簧振子为例，取自然状态的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为 $x$ 时其收到的弹性力为

F=-kx

其中 $k$ 为弹簧的刚度系数，负号表示弹性力的方向与振子的位移方向相反，即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小和振子偏离平衡位置的位移成正比这种力称为线性回复力。

\begin{aligned} F=ma \\ -kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} \\ \text{「令」}w^{2}=\frac{k}{m} \\ \text{「则有」}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+w^{2}x=0 \end{aligned}

这个式子的形式就是简谐振动的运动微分方程，解出来就是简谐运动方程 $x=A\cos(wt+\varphi_{0})$

微振动的简谐近似#

单摆#

上述弹簧振子是一个理想模型，实际的震动大多复杂，需要近似

以摆球为研究对象，一端固定且不可伸长的细线与可视为质点的物体相连，当他们在竖直平面内作小角度摆动时，该系统可称为单摆

作图受力分析可得出过转动轴的力矩为（ $M$ 表示力矩，力矩是力乘力臂，即力乘力到支点的垂直距离）

M=-mgl\sin \theta

对 $\sin \theta$ 泰勒展开，在 $\theta \leq 5^{\circ}$ 时可以近似为 $\theta$

M=-mgl\theta

若不计阻力，将 $M$ 具体化

ml^{2} \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-mgl\theta

令

w^{2}=\frac{k}{m}

则

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+w^{2}x=0

即单摆的小角度摆动是简谐振动

复摆#

绕不过质心的水平固定轴这话弄懂的刚体称为复摆，一样的，质心就相当于单摆的小球，也可以归为上式

带重力弹簧振子#

以平衡位置为坐标原点

-k(x+l)+mg\text{「施加的力」}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}

因为 $mg=kl$

-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}

又变成了

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+w^{2}x=0

依旧简谐运动，说明：若一个谐振子系统受到一个恒力，只要将其坐标原点移到恒力作用下新的平衡位置，该系统仍然是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统

简谐振动的运动学#

简谐振动的运动方程#

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+w^{2}x=0$ 的解可写作 $x=A\cos(wt+\varphi_{0})$ ，称为简谐振动的运动方程，三角恒等变换可得该式子也可以用 $\sin$ 表示

描述简谐振动的重要参量#

振幅#

A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}}{w}^{2}}

周期、频率和角频率#

\begin{aligned} T=\frac{2\pi}{w}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\\ v=\frac{1}{T}=\frac{w}{2\pi}\\ w=\frac{2\pi}{T}=2\pi v \end{aligned}

相位和初相位#

相位

\varphi=wt+\varphi_{0}

相位差

\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}

简谐振动的旋转矢量表示法#

有一些关于位置的表述时可以想想一个矢量在圆上运转

简谐振动的能量#

\begin{cases} x=A\cos(wt+\varphi_{0}) \\ v=-wA\sin(wt+\varphi_{0}) \\ a=-w^{2}A\cos(wt+\varphi_{0}) \end{cases}

上式代入，补充 $\displaystyle k=mw^{2}$ ，k 是刚度系数（就是弹性系数）

\begin{cases} E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mw^{2}A^{2}\sin ^{2}(wt+\varphi_{0})=\frac{1}{2}kA^{2}\sin ^{2}(wt+\varphi_{0}) \\ Ep=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos ^{2}(wt+\varphi_{0}) \end{cases}

两式相加得总能量

E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}mw^{2}A^{2}

动能和势能在一个周期内的平均值相等，且都等于总能量的一半，次结论适用于任意谐振动系统

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机械振动#

简谐振动的动力学特征#

弹簧振子模型#

微振动的简谐近似#

单摆#

复摆#

带重力弹簧振子#

简谐振动的运动学#

简谐振动的运动方程#

描述简谐振动的重要参量#

振幅#

周期、频率和角频率#

相位和初相位#

简谐振动的旋转矢量表示法#

简谐振动的能量#

简谐振动的合成#

零散#

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